TCP吞吐量模型推导计算

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In a previous topic, we saw that the congestion window follows a sawtooth pattern. In the figure below, the congestion window is increased by 1 packet every RTT until it reaches the maximum value W. At this point, a loss is detected, and the cwnd is cut in half.

Given this behavior, we want to have a simple model that predicts the throughput for a TCP connection.

To make our model more realistic, let’s also assume that we have p = the probability loss. So, we assume that the network delivers 1/ p consecutive packets, followed by a single packet loss.

The TCP Protocol: TCP Throughput-1

Because the congestion window (cwnd) size increases a constant rate of 1 packet for every RTT, the height of the sawtooth is W / 2, and the width of the base is W / 2, which corresponds to W / 2 round trips, or RTT \ W / 2*.

The number of packets sent in one cycle is the area under the sawtooth. Therefore, the total number of packets sent is

$\left(\frac{W}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} \left(\frac{W}{2}\right)^2 = \frac{3}{8}W^2$

As stated in our assumptions about our lossy network, it delivers 1/p packets followed by a loss. So we have

$\frac{1}{p}=\frac{3}{8} W^2$

and solving for W gives the maximum value $W = \sqrt[]{\frac{8}{3p}} = 2\cdot\sqrt[]{\frac{2}{3p}}$.

The rate that data that is transmitted, i.e., throughput/bandwidth, BW, is computed as:

BW = data per cycle / time per cycle

Substituting from above:

$BW = \frac{data\:per\:cycle}{time\:per\:cycle}\:=\:\frac{MSS\:\cdot\frac{\:3}{8}W^2}{RTT\:\cdot\frac{\:W}{2}}\:=\:\frac{\frac{MSS}{p}}{RTT\sqrt[]{\frac{2}{3p}}}$

We can collect all of our constants into $C\:=\:\sqrt{\frac{3}{2}}$, and compute the bandwidth

$BW\:=\:\frac{MSS}{RTT}\cdot\frac{C}{\sqrt{p}}$

In practice, because of additional parameters, such as small receiver windows, extra bandwidth availability, and TCP timeouts, our constant term C is usually less than 1. This means that bandwidth is bounded:

$BW\:<\:\frac{MSS}{RTT}\cdot\frac{1}{\sqrt{p}}$

References

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TCP 吞吐量模型 - 费曼学习法自检清单

📋 Checklist（自检清单）

第一部分：基础概念理解

[ ] 1. 我能解释什么是拥塞窗口（Congestion Window, cwnd）的锯齿模式（Sawtooth Pattern）吗？
[ ] 2. 我能说明 RTT（Round Trip Time，往返时间）在这个模型中的作用吗？
[ ] 3. 我能解释丢包概率 p（Probability of Loss）的含义吗？

第二部分：锯齿图形分析

[ ] 4. 我能解释为什么锯齿的高度是 W/2 吗？
[ ] 5. 我能解释为什么锯齿的底边宽度是 W/2 个 RTT 吗？
[ ] 6. 我能推导出一个周期内发送的数据包数量为 (3/8)W² 吗？

第三部分：数学推导

[ ] 7. 我能解释 1/p = (3/8)W² 这个等式的含义吗？
[ ] 8. 我能从上述等式推导出 W 的表达式吗？
[ ] 9. 我能解释带宽（Bandwidth, BW）= 数据量/时间的计算过程吗？

第四部分：最终公式理解

[ ] 10. 我能写出并解释 TCP 吞吐量公式 BW = (MSS/RTT) × (C/√p) 吗？
[ ] 11. 我能解释为什么实际中常数 C 通常小于 1 吗？
[ ] 12. 我能用自己的话向别人解释这个模型的实际意义吗？

第五部分：应用与延伸

[ ] 13. 如果丢包率 p 增加，吞吐量会如何变化？
[ ] 14. 如果 RTT 增加，吞吐量会如何变化？
[ ] 15. MSS（Maximum Segment Size，最大报文段大小）如何影响吞吐量？

✅ 答案与详解

问题 1：我能解释什么是拥塞窗口（`cwnd`）的锯齿模式吗？

答案：
拥塞窗口的锯齿模式描述了 TCP 拥塞控制的行为：

上升阶段：每经过一个 RTT，cwnd 增加 1 个数据包（加性增加，Additive Increase）
下降阶段：当检测到丢包时，cwnd 减半（乘性减少，Multiplicative Decrease）
这种 AIMD（Additive Increase Multiplicative Decrease）机制形成了锯齿状的图形

问题 2：RTT 在这个模型中的作用是什么？

答案：
RTT（往返时间）是：

发送数据包到收到确认（ACK）所需的时间
决定了 cwnd 增长的速度（每个 RTT 增加 1）
是计算吞吐量的关键分母：RTT 越大，吞吐量越低

问题 3：丢包概率 P 的含义是什么？

答案：
丢包概率 p 表示：

网络中每传输一定数量的数据包后会丢失一个包
具体来说，网络平均每传输 1/p 个连续数据包后，会发生一次丢包
例如：p = 0.01 意味着平均每 100 个包丢 1 个

问题 4：为什么锯齿的高度是 W/2？

答案：

当 cwnd 达到最大值 W 时发生丢包
丢包后 cwnd 减半，变为 W/2
因此锯齿从 W/2 增长到 W，高度差 = W - W/2 = W/2

问题 5：为什么锯齿的底边宽度是 W/2 个 RTT？

答案：

cwnd 每个 RTT 增加 1 个数据包
从 W/2 增长到 W，需要增加 W/2 个数据包
因此需要 W/2 个 RTT
时间 = RTT × W/2

问题 6：一个周期内发送的数据包数量为什么是 (3/8)W²？

答案：
锯齿图形可以分解为：

一个矩形：底 = W/2，高 = W/2 → 面积 = (W/2)²
一个三角形：底 = W/2，高 = W/2 → 面积 = (1/2) × (W/2)²

总面积 = (W/2)² + (1/2)(W/2)² = (W²/4) + (W²/8) = 3W²/8

问题 7：1/p = (3/8)W² 这个等式的含义是什么？

答案：

网络每传输 1/p 个数据包后发生一次丢包
一个完整的锯齿周期正好对应一次丢包事件
因此，一个周期内发送的包数 = 1/p
所以：1/p = (3/8)W²

问题 8：如何推导出 W 的表达式？

答案：
从 1/p = (3/8)W² 出发：

Code

1
2
3

W² = 8/(3p)
W = √(8/3p)
W = 2√(2/3p)

问题 9：带宽的计算过程是什么？

答案：

Code

BW = 数据量(Data per cycle) / 时间(Time per cycle)

数据量 = MSS × (3/8)W² = MSS × (1/p) = MSS/p
时间 = RTT × W/2

BW = (MSS/p) / (RTT × W/2)
   = (MSS/p) / (RTT × √(2/3p))
   = MSS/(RTT × √(2p/3))

问题 10：TCP 吞吐量公式的含义是什么？

答案：

$BW = \frac{MSS}{RTT} \cdot \frac{C}{\sqrt{p}}$

其中 C = √(3/2) ≈ 1.22

含义：

MSS/RTT：基础传输速率
1/√p：丢包率的影响因子，丢包率越高，吞吐量越低
C：理论常数

问题 11：为什么实际中常数 C 通常小于 1？

答案：
实际网络中存在多种限制因素：

小的接收窗口（Small Receiver Windows）
额外的带宽可用性变化（Extra Bandwidth Availability）
TCP 超时（TCP Timeouts）
因此实际带宽上界为：BW < (MSS/RTT) × (1/√p)

问题 12：这个模型的实际意义是什么？

答案：
这个模型告诉我们：

TCP 吞吐量与 MSS 成正比
TCP 吞吐量与 RTT 成反比（长距离连接性能差）
TCP 吞吐量与 √p 成反比（丢包率影响显著）
这解释了为什么高延迟、高丢包的网络中 TCP 性能很差

问题 13：如果丢包率 P 增加，吞吐量会如何变化？

答案：

吞吐量与 1/√p 成正比
p 增加 → √p 增加 → 1/√p 减小 → 吞吐量下降
例如：p 从 1% 增加到 4%，吞吐量减半

问题 14：如果 RTT 增加，吞吐量会如何变化？

答案：

吞吐量与 1/RTT 成正比
RTT 增加 → 吞吐量线性下降
这就是为什么跨洋连接（高 RTT）的 TCP 性能较差

问题 15：MSS 如何影响吞吐量？

答案：

吞吐量与 MSS 成正比
MSS 越大 → 每个数据包携带更多数据 → 吞吐量越高
但 MSS 受限于网络的 MTU（Maximum Transmission Unit）

🎯 核心公式总结

项目	公式
周期数据量	(3/8)W² packets
周期时间	RTT × W/2
最大窗口 W	√(8/3p)
吞吐量	BW = (MSS/RTT) × (C/√p)
实际上界	BW < (MSS/RTT) × (1/√p)

TCP吞吐量模型推导计算

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📋 Checklist（自检清单）

第一部分：基础概念理解

第二部分：锯齿图形分析

第三部分：数学推导

第四部分：最终公式理解

第五部分：应用与延伸

✅ 答案与详解

问题 1：我能解释什么是拥塞窗口（cwnd）的锯齿模式吗？

问题 2：RTT 在这个模型中的作用是什么？

问题 3：丢包概率 P 的含义是什么？

问题 4：为什么锯齿的高度是 W/2？

问题 5：为什么锯齿的底边宽度是 W/2 个 RTT？

问题 6：一个周期内发送的数据包数量为什么是 (3/8)W²？

问题 7：1/p = (3/8)W² 这个等式的含义是什么？

问题 8：如何推导出 W 的表达式？

问题 9：带宽的计算过程是什么？

问题 10：TCP 吞吐量公式的含义是什么？

问题 11：为什么实际中常数 C 通常小于 1？

问题 12：这个模型的实际意义是什么？

问题 13：如果丢包率 P 增加，吞吐量会如何变化？

问题 14：如果 RTT 增加，吞吐量会如何变化？

问题 15：MSS 如何影响吞吐量？

🎯 核心公式总结

问题 1：我能解释什么是拥塞窗口（`cwnd`）的锯齿模式吗？